Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng lớn nhất

• A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
• 1. Cơ sở lý thuyết
• 2. Bài tập có lời giải
• B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
• 1. Cơ sở lý thuyết
• 2. Bài tập có lời giải
• Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian là gì?
• Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Video liên quan

A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng

Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ : Ax + By + C = 0 và điểm N ( x0 ; y0 ). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là :
d ( N ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { A { x_0 } + b { y_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $ ( 1 ) Cho điểm M ( xM ; yN ) và điểm N ( xN ; yN ). Khoảng cách hai điểm này là :
MN = $ \ sqrt { { { \ left ( { { x_M } – { x_N } } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { { y_M } – { y_N } } \ right ) } ^ 2 } } $ ( 2 )

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ.

Lời giải chi tiết cụ thể Khoảng cách từ điểm Q. tới đường thẳng Δ được xác lập theo công thức ( 1 ) :
d ( N ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { – 1.2 + 3.1 + 1 } \ right | } } { { \ sqrt { { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt { 10 } } } { 5 } $

Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$

Lời giải chi tiết cụ thể
Ta đưa phương trình $ \ frac { x } { 3 } – \ frac { y } { 2 } = 5 $ < => 2 x – 3 y = 30 < => 2 x – 3 y – 30 = 0 ( * )
Phương trình ( * ) là dạng tổng quát. Khoảng cách từ điểm P. ( 1 ; 1 ) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức ( 1 ). Thay số :
d ( P. ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { 2.1 + \ left ( { – 3 } \ right ). 1 – 30 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 3 } \ right ) } ^ 2 } } } } $ = 8,6

Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết cụ thể
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy :

• Đường thẳng Δ đi qua điểm Q( 3; 1)
• Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = ( 3; – 2 )

Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát : 3 ( x – 3 ) – 2 ( y – 1 ) = 0 < => 3 x – 2 y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P. ( 1 ; 3 ) đến đường thẳng Δ : d ( P. ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { 3.1 + \ left ( { – 2 } \ right ). 3 – 7 } \ right | } } { { \ sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } } } } $ = 2,77

B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Đây là kiến thức và kỹ năng hình học khoảng trống thuộc toán học lớp 12 khối trung học phổ thông :

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N ( xN ; yN ; zN ). Hãy xác lập khoảng cách từ N tới Δ ?
Phương pháp

• Bước 1. Tìm điểm M( x0; y0; z0) ∈ Δ
• Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của Δ
• Bước 3: Vận dụng công thức d(N; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải chi tiết cụ thể
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương : $ { \ vec u_ \ Delta } $ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Lấy điểm B ( 0 ; 1 ; – 1 ) ∈ Δ => $ \ overrightarrow { AB } $ = ( – 1 ; 0 ; – 2 ) => $ [ \ overrightarrow { AB }, \ vec u ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .
Khi này : d ( A ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ vec u } \ right ] } \ right | } } { { | \ vec u | } } = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 2 }. $

Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có  đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?

Lời giải cụ thể
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $ A { M_ { \ min } } = d ( A ; \ Delta ). $
Đường thẳng Δ : $ \ frac { x } { 1 } = \ frac { { y – 1 } } { 2 } = \ frac { { z + 1 } } { 1 } $ => vtcp $ { \ vec u_ \ Delta } $ = ( 1 ; 2 ; 1 ) .
Lấy điểm B ( 0 ; 1 ; – 1 ) ∈ Δ => $ \ overrightarrow { AB } $ = ( – 1 ; 0 ; – 2 ) => $ [ \ overrightarrow { AB }, \ vec u ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .
Khi này ta vận dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : d ( A ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ vec u } \ right ] } \ right | } } { { | \ vec u | } } = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 2 } $ $ \ Rightarrow A { M_ { \ min } } = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 2 }. $

Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB

Lời giải cụ thể
Từ phương trình đường thẳng Δ : USD \ Delta : \ frac { x } { 1 } = \ frac { { y – 1 } } { 2 } = \ frac { { z + 1 } } { 1 } $ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng $ { \ vec u_ \ Delta } $ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Chọn điểm Q. ( 2 ; 5 ; 1 ) ∈ Δ => $ \ overrightarrow { MQ } $ = ( 1 ; 4 ; 0 ) => $ \ left [ { \ overrightarrow { MQ }, \ overrightarrow u } \ right ] $ = ( 4 ; – 1 ; – 2 ) .
Lúc đó : d ( M ; Δ ) = $ \ frac { { \ left | { \ left [ { \ overrightarrow { MQ }, \ vec u } \ right ] } \ right | } } { { | \ vec u | } } = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 2 } $
USD \ Rightarrow MP = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 2 }. $
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $ \ sqrt { M { N ^ 2 } – M { P ^ 2 } } = \ frac { { \ sqrt 6 } } { 2 } $
Vậy $ S = \ frac { 1 } { 2 } MP.PN = \ frac { { \ sqrt { 21 } } } { 4 }. $
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi tuyển. Đừng quên truy vấn toanhoc.org để hoàn toàn có thể update cho mình thật nhiều tin tức hữu dụng nhé.
Trong bài trước chúng tôi đã san sẻ triết lý về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nên thời điểm ngày hôm nay chúng tôi liên tục san sẻ khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng có ví dụ minh họa chi tiết cụ thể trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tìm hiểu thêm nhé

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian là gì?

Trong khoảng trống cho điểm A và đường thẳng Δ bất kể. Gọi điểm B là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng Δ. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB chính là khoảng cách từ điểm A lên đường thẳng Δ .

Hay nói cách khác khoảng cách giữa điểm và đường thẳng chính là khoảng cách giữa điểm và hình chiếu của nó trên đường thẳng. Ký hiệu là d ( A, Δ ) .

Tham khảo thêm:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

– Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 và điểm M ( x0 ; y0 ). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là

– Cho điểm A ( xA ; yA ) và điểm B ( xB ; yB ). Khoảng cách hai điểm này là : AB = √ ( xA – xB ) 2 + ( yB – yA ) 2
Chú ý : Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì tiên phong ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát .
Ví dụ 1 : Khoảng cách từ điểm M ( 1 ; – 1 ) đến đường thẳng ( a ) : 3 x – 4 y – 21 = 0 là :
Ví dụ 2 : Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ :Lời giải : Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => AMmin = d ( A ; Δ ) .
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC biết A ( 1, 2 ) ; B ( 2,3 ) ; C ( – 1,2 ) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC
Lời giải :
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC
Ví dụ 4 : Đường tròn ( C ) có tâm là gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ) và tiếp xúc với đường thẳng ( d ) : 8 x + 6 y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C ) là ?
Lời giải :
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C ) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là nửa đường kính R của đường tròn
Ví dụ 5 : Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng ( a ) : x – 3 y + 4 = 0 và ( b ) : 2 x + 3 y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆ : 3 x + y + 16 = 0 bằng là ?
Lời giải :
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a ) và ( b ) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Đánh giá bài viết

XEM THÊM

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có VD từ A – Z

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – Cách giải nhanh chính xác 100%