Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao – Tự Học 365
Mục lục
Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên dưới mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kể đến mặt bên $ \ left ( SHB \ right ) USD .
Kẻ $ AH \ bot HB $ ta có :
USD \ left \ { \ begin { array } { } AK \ bot HB \ \ { } AK \ bot SH \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow AK \ bot \ left ( SHB \ right ) USD
Suy ra $d\left( A;\left( SHB \right) \right)=AK$.
Bạn đang đọc: Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao – Tự Học 365
Cách tính:
Ta có : USD d \ left ( A ; \ left ( SHB \ right ) \ right ) = AK = \ frac { 2 { { S } _ { AHB } } } { HB } $
USD = AB \ sin \ widehat { ABK } = AH. \ sin \ widehat { AHK } $ .
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có $AB=3a,BC=2a,\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết $SA\bot \left( ABC \right)$. a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAB \ right ) USD . b ) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD . |
Lời giải chi tiết
a ) Dựng $ CH \ bot AB $ ta có : $ \ left \ { \ begin { array } { } CH \ bot AB \ \ { } CH \ bot SA \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow CH \ bot \ left ( SAB \ right ) USD
Do đó
USD d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = CH = CB \ sin \ widehat { ABH } = 2 a \ sin 60 { } ^ \ circ = a \ sqrt { 3 } $ .
b ) Dựng $ CK \ bot AC \ Rightarrow CK \ bot \ left ( SAC \ right ) USD .
Ta có : USD d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = CH = \ frac { 2 { { S } _ { ABC } } } { AC } = \ frac { AB.BC \ sin \ widehat { ABC } } { AC } $
Trong đó $ A { { C } ^ { 2 } } = A { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } – 2BA. BC \ cos \ widehat { B } $
USD \ Rightarrow AC = a \ sqrt { 7 } \ Rightarrow d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = \ frac { 3 a. 2 a. \ sin 60 { } ^ \ circ } { a \ sqrt { 7 } } = \ frac { 3 a \ sqrt { 21 } } { 7 } $ .
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $B=a,AD=a\sqrt{3}$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB. a ) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $ \ left ( SHD \ right ) USD . b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SHC \ right ) USD . |
Lời giải chi tiết
a ) Do tam giác SAB cân tại S nên $ SH \ bot AB $ .
Ta có : USD HA = HD = \ frac { a } { 2 } $ .
Mặt khác $ \ left ( SAB \ right ) \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Dựng $ AE \ bot DH \ Rightarrow AE \ bot \ left ( SHD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( A ; \ left ( SHD \ right ) \ right ) = AE $ .
Mặt khác USD AE = \ frac { AH.AD } { \ sqrt { A { { H } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } } } = \ frac { a \ sqrt { 39 } } { 13 } $ .
b ) Dựng $ DK \ bot CH \ Rightarrow d \ left ( D ; \ left ( SHC \ right ) \ right ) = DK $ .
Ta có : USD CH = \ sqrt { H { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } } = \ frac { a \ sqrt { 13 } } { 2 } $, USD { { S } _ { HCD } } = \ frac { 1 } { 2 } CD.d \ left ( H ; CD \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ text {. } a \ text {. } a \ sqrt { 3 } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
Do đó USD d \ left ( D ; \ left ( SHC \ right ) \ right ) = \ frac { 2 { { S } _ { HCD } } } { CH } = \ frac { 2 a \ sqrt { 39 } } { 13 } $ .
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có $AD=3a$, $AB=BC=2a$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$. a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAD \ right ) USD . b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD . |
Lời giải chi tiết
a ) Dựng $ CE \ bot AD \ Rightarrow CE \ bot \ left ( SAD \ right ) USD .
Khi đó USD d \ left ( C ; \ left ( SAD \ right ) \ right ) = CE $, do ABCE là hình vuông vắn cạnh USD 2 a $ nên $ CE = AE = 2 a \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SAD \ right ) \ right ) = 2 a USD .
b ) Dựng $ DH \ bot AC \ Rightarrow DH \ bot \ left ( SAC \ right ) USD .
Khi đó USD d \ left ( D ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = DH $ .
Ta có : ABCE là hình vuông vắn nên $ \ widehat { CAD } = 45 { } ^ \ circ USD .
Do đó $ DH = ADsin45 { } ^ \ circ = 3 a. \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 } = \ frac { 3 a \ sqrt { 2 } } { 2 } $ .
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $5a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm H của tam giác ABD. a ) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD . b ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SHD \ right ) USD . |
Lời giải chi tiết
a ) Do H là trọng tâm tam giác ABD $ \ Rightarrow H \ in AC $ .
Gọi O là tâm của hình vuông vắn ABCD $ \ Rightarrow BO \ bot AC $ .
Mặt khác $ BO \ bot SH \ Rightarrow BO \ bot \ left ( SAC \ right ) USD
Khi đó USD d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = BO = \ frac { 5 a \ sqrt { 2 } } { 2 } $ .
b ) Dựng $ CK \ bot HD \ Rightarrow CK \ bot \ left ( SHD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SHD \ right ) \ right ) = CK $ .
Gọi I là trung điểm của AB thì $ H = DI \ cap AO $ .
Khi đó : USD CK = \ frac { 2 { { S } _ { ICD } } } { DI } = \ frac { 2. \ frac { 1 } { 2 } { { S } _ { ABCD } } } { DI } = \ frac { 25 { { a } ^ { 2 } } } { \ sqrt { D { { A } ^ { 2 } } + A { { I } ^ { 2 } } } } = \ frac { 25 { { a } ^ { 2 } } } { \ sqrt { 25 { { a } ^ { 2 } } + { { \ left ( \ frac { 5 a } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } } } = 2 a \ sqrt { 5 } $ .
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh $a$, với $AB=2a$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAB \ right ) USD . b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD . |
Lời giải chi tiết
a ) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh USD a $ nên nó nội tiếp đường tròn đường kính $ AB = 2 a USD .
Dựng $ CH \ bot AB \ Rightarrow CH \ bot \ left ( SAB \ right ) \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = CH $ .
Mặt khác $ \ widehat { ABC } = 60 { } ^ \ circ \ Rightarrow CH = BC \ sin 60 { } ^ \ circ = \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
Vậy USD d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
b ) Dựng $ DK \ bot AC \ Rightarrow DK \ bot \ left ( SAC \ right ) \ Rightarrow d \ left ( D ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = DK $ .
Do $ \ widehat { DCB } = 120 { } ^ \ circ, \ widehat { ACB } = 90 { } ^ \ circ \ Rightarrow \ widehat { ACD } = 30 { } ^ \ circ \ Rightarrow DK = CD \ sin \ widehat { DCK } = a \ sin 30 { } ^ \ circ = \ frac { a } { 2 } $ .
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, $AB=\sqrt{2},BC=2$. Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( SAM \right)$ cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left( SAM \right)$. |
Lời giải chi tiết
Ta có USD { { S } _ { ABCD } } = 2 { { S } _ { \ Delta ABC } } = 2 { { S } _ { \ Delta MAB } } = 2 \ Rightarrow { { S } _ { \ Delta ABC } } = { { S } _ { \ Delta MAB } } = 1 USD .
USD \ Rightarrow { { S } _ { \ Delta ABC } } = \ frac { 1 } { 2 }. AB.BC. \ sin \ widehat { ABC } = 1 \ Rightarrow \ sin \ widehat { ABC } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } $ .
Do đó $ \ widehat { ABC } = 45 { } ^ \ circ \ Rightarrow \ widehat { ADM } = 45 { } ^ \ circ USD .
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có :
USD AM = \ sqrt { A { { D } ^ { 2 } } + D { { M } ^ { 2 } } – 2. AD.DM.cos \ widehat { ADM } } = \ frac { \ sqrt { 10 } } { 2 } $
Gọi H là giao điểm của AM và BD $ \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Kẻ BK vuông góc với AM, USD K \ in AM \ Rightarrow BK \ bot AM $ $ \ left ( 1 \ right ) USD .
Ta có $ \ left ( SAM \ right ) \ cap \ left ( SBD \ right ) = SH \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow SH \ bot BK $ $ \ left ( 2 \ right ) USD .
Từ $ \ left ( 1 \ right ) USD, $ \ left ( 2 \ right ) $ $ \ Rightarrow BK \ bot \ left ( SAM \ right ) \ Rightarrow d \ left ( B ; \ left ( SAM \ right ) \ right ) = BK $ .
Mặt khác USD { { S } _ { \ Delta MAB } } = \ frac { 1 } { 2 }. BK.AM \ Rightarrow BK = \ frac { 2. { { S } _ { \ Delta MAB } } } { AM } = \ frac { 4 } { \ sqrt { 10 } } = \ frac { 2 \ sqrt { 10 } } { 5 } $ .
| Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo $AC=BD=2a$. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( A’AB \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính khoảng cách $d\left( B’;\left( A’BD \right) \right)$. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
USD \ Rightarrow USD USD HA = HC \ Rightarrow A’H \ bot BD $ ( Do $ \ Delta A’BD $ cân tại A ’ ) .
Do $ \ left ( A’BD \ right ) \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow A’H \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Ta có : USD A’H = \ frac { 1 } { 2 } BD = a $ ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy ) .
Dựng $ HM \ bot AB \ Rightarrow AB \ bot \ left ( A’HM \ right ) \ Rightarrow \ overset \ frown { A’MH } = 60 { } ^ \ circ USD
+) Khi đó: $HM\tan 60{}^\circ =A’H\Rightarrow HM=\frac{a}{\sqrt{3}}$
Xem thêm: Google Maps – Không chỉ là dẫn đường
USD \ Rightarrow AD = 2HM = \ frac { 2 a } { \ sqrt { 3 } } \ Rightarrow AB = 2 a \ sqrt { \ frac { 2 } { 3 } } $
Do : USD A’D / / B’C \ Rightarrow B’C / / \ left ( A’BD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( B ‘ ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) = d \ left ( C ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) USD .
Ta có : USD CE = \ frac { CD.CB } { BD } = \ frac { 2 a \ sqrt { 2 } } { 3 } USD. Vậy $ d \ left ( B ‘ ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) = \ frac { 2 a \ sqrt { 2 } } { 3 } $ .
Source: https://thevesta.vn
Category: Chỉ Đường
