Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

I. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

– Cho điểm A ( xA ; yA ) và điểm B ( xB ; yB ), khoảng cách giữa hai điểm này là :

II. Công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng

– Cho đường thẳng Δ : Ax + By + C = 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ). Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng Δ là :

> Lưu ý:Trong trường hợp đường thẳngΔ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng Δ về dạng tổng quát.

III. Tính khoảng cách giữa 2 điểm, từ điểm tới đường thẳng qua bài tập minh họa

* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;2) và điểm B(-3;4). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

* Lời giải:

– Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa 2 điểm A, B ta có :

* Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(2;-1) đến đường thẳng (Δ): 3x + 4y + 7 = 0.

* Lời giải:

– Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( Δ ) là :

* Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(0;1) đến đường thẳng (Δ): 4x + 3y = 6

* Lời giải:

– Đường thẳng ( Δ ) : 4 x + 3 y = 6 4 x + 3 y – 6 = 0
– Khoảng cách từ điểm A đến ( Δ ) là :

* Ví dụ 4:Tính khoảng cách từ điểm M(1;1) đến đường thẳng (Δ) có phương trình tham số:x = 3 + 3t và y = 2 + t.

* Lời giải:

– Ta cần đưa phương trình đường thẳng ( Δ ) về dạng tổng quát .
– Ta có : ( Δ ) đi qua điểm A ( 3 ; 2 ) và có VTCPPhương trình ( Δ ) : 1. ( x – 3 ) – 3 ( y – 2 ) = 0 x – 3 y + 3 = 0
Khoảng cách từ điểm M ( 1 ; 1 ) đến ( Δ ) là :

* Ví dụ 5: Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 4x – 3y + 25 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

* Lời giải:

– Do đường thẳng ( Δ ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ( Δ ) chính là nửa đường kính R của đường tròn .

* Ví dụ 6:Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (d1): x – 3y + 4 = 0 và
(d2): 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng : 3x + y + 16 = 0 bằng:

* Lời giải:

– Trước hết ta cần tìm giao điểm của ( d1 ) và ( d2 ) ; từ đó tính khoảng cách từ giao điểm này tới ( ) .
– Giả sử giao điểm của ( d1 ) và ( d2 ) là A thì tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
x – 3 y + 4 = 0 và 2 x + 3 y – 1 = 0
Giải hệ được x = – 1 và y = 1 A ( – 1 ; 1 )
– Khoảng cách từ điểm A ( – 1 ; 1 ) đến đường thẳng : 3 x + y + 16 = 0 là :

* Ví dụ 7:Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1); B(0;3) và C(4;0).

a ) Tính chiều dài đường cao AH ( H thuộc BC ) .
b ) Tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC

* Lời giải:

a ) Tính chiều dài đường cao AH
– Chiều dài đường cao AH chính là khoảng cách từ A tới đường thẳng BC. Vì vậy ta cần viết phương trình dường thẳng BC từ đó tính khoảng cách từ A tới BC .
– PT đường thẳng BC : Đi qua B ( 0 ; 3 ) và có CTCP BC ( xC – xB ; yC – yB ) = ( 4 ; – 3 ) nên VTPT là n ( 3 ; 4 ) .
PTĐT ( BC ) là : 3 ( x – 0 ) + 4 ( y – 3 ) = 0 3 x + 4 y – 12 = 0
chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC :
b ) Tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC .
– Ta có : SΔABC = ( 50% ). AH.BC

– Có độ dài BC là:

– Mà AH = d ( A ; BC ) = 1 ( theo câu a )
SΔABC = ( 50% ). AH.BC = ( 50% ). 1.5 = 5/2 = 2,5 .