Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay

Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

– Viết phương trình mặt phẳng ( P. ) chứa điểm A và vuông góc với d
– Tìm H là giao điểm của d và ( P. ) => H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P. )
– Tìm H là giao điểm của d và ( P. ) => H là giao điểm của A trên ( P. )

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A ( 1 ; 2 ; 1 ) trên đường thẳng d :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chi phương
.

+ Gọi mặt phẳng ( P. ) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của ( P. ) là :
1 ( x – 1 ) + 2. ( y – 2 ) – 2. ( z – 1 ) = 0 hay x + 2 y – 2 z – 3 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và ( P. )
Tọa độ H ( t – 2 ; 2 t + 1 ; – 2 t – 1 ) thỏa mãn nhu cầu :
( t-2 ) + 2 ( 2 t + 1 ) – 2 ( – 2 t – 1 ) – 3 = 0 < => t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d và

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Cho M ( 1 ; – 1 ; 2 ) và mặt phẳng ( P. ) : 2 x – y + 2 z + 2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng ( P. )
A. ( 2 ; 1 ; 0 )
B. ( – 2 ; 0 ; 1 )
C. ( – 1 ; 0 ; 0 )
D. ( 0 ; 2 ; 1 )

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
.

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P. ) nhận vectơ pháp tuyến của ( P. ) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và ( P. )
Tọa độ của H ( 1 + 2 t, – 1 – t ; 2 + 2 t ) thỏa mãn nhu cầu :
2 ( 1 + 2 t ) – ( – 1 – t ) + 2 ( 2 + 2 t ) + 2 = 0
⇔ 2 + 4 t + 1 + t + 4 + 4 t + 2 = 0
⇔ 9 t + 9 = 0 ⇔ t = – 1 nên H ( – 1 ; 0 ; 0 )
Chọn C .

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng
.
Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1 ; 2 ; 1 )
B. ( 5 ; – 3 ; 4 )
C. ( – 2 ; 1 ; 3 )
D. ( 1 ; 1 ; 3 )

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của d là:

Xét điểm H ( 1 + 2 t ; – t-1 ; 2 t ) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

⇔ 2 ( 2 t – 1 ) – 1 ( – t ) + 2 ( 2 t – 8 ) = 0
⇔ 4 t – 2 + t + 4 t – 16 = 0
⇔ 9 t – 18 = 0 nên t = 2
=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H ( 5 ; – 3 ; 4 )
Chọn B .

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( – 1 ; 3 ; 0 )
B. ( – 2 ; 1 ; 0 )
C. ( – 1 ; 2 ; 1 )
D. ( – 2 ; – 1 ; 1 )

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .
Chọn A .

Ví dụ: 5

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng ( P. ) : x + 2 y – z + 5 = 0 và điểm M ( – 1 ; 2 ; 1 ). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P. )
A. ( 1 ; 0 ; 2 )
B. ( – 1 ; 0 ; 2 )
C. ( – 2 ; 0 ; 2 )
D. ( – 1 ; 2 ; – 2 )

Hướng dẫn giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H – hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( P. ) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. ) .
Thay x = – 1 + t ; y = 2 + 2 t ; z = 1 – t vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta được :
( – 1 + 2 t ) + 2 ( 2 + 2 t ) – ( 1 – t ) + 5 = 0
⇔ – 1 + 2 t + 4 + 4 t – 1 + t + 5 = 0
⇔ 7 t + 7 = 0 ⇔ t = – 1 nên H ( – 2 ; 0 ; 2 )
Chọn C .

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A. ( 1 ; 0 ; – 2 )
B. ( – 2 ; 1 ; 1 )
C. ( 1 ; 2 ; 3 )
D. ( – 1 ; 0 ; 6 )

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương

+ Gọi ( P. ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng ( P. ) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng ( P. ) :
– 1 ( x – 1 ) + 2 ( y-1 ) + 1 ( z – 1 ) = 0 hay – x + 2 y + z – 2 = 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. )
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H ( – t ; 2 t ; 2 + t ). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta được :
– ( – t ) + 2. 2 t + 2 + t – 2 = 0 ⇔ 6 t = 0 ⇔ t = 0
=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0 ; 0 ; 2 )
+ Do M ’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM ’ .
=> Tọa độ điểm M ’ ( – 1 ; 0 ; 6 )
Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng ( P. ) : x – 2 y – 4 = 0 và điểm A ( 1 ; 1 ; 0 ). Gọi A ’ là điểm đối xứng với A qua ( P. ). Tìm A ’ .
A. ( 3 ; – 3 ; 0 )
B. ( – 2 ; 1 ; 3 )
C. ( 0 ; 2 ; – 1 )
D. ( – 2 ; 3 ; 1 )

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
.

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A ( 1 ; 1 ; 0 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P. ). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1 ; – 2 ; 0 )

=> Phương trình đường thẳng

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P. ). Khi đó ; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. ) :
=> H ( 1 + t ; 1 – 2 t ; 0 ) thay vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta có :
1 + t – 2 ( 1 – 2 t ) – 4 = 0 hay t = 1
=> H ( 2 ; – 1 ; 0 ) .
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P. ) là H ( 2 ; – 1 ; 0 ) .
+ Do A ’ là điểm đối xứng với A qua ( P. ) nên H là trung điểm của AA ’ .
=> Tọa độ A ’ ( 3 ; – 3 ; 0 )
Chọn A .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng

A. ( – 2 ; 0 ; 1 )
B. ( 2 ; – 1 ; – 5 )
C. ( 0 ; 3 ; – 3 )
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d có vecto chi phương
.

+ Gọi mặt phẳng ( P. ) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của ( P. ) là :
– 2 ( x + 2 ) + 1. ( y – 1 ) – 2. ( z – 0 ) = 0 hay – 2 x + y – 2 z – 5 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và ( P. )
Tọa độ H ( – 2 t ; t ; – 7 – 2 t ) thỏa mãn nhu cầu :
– 2 ( – 2 t ) + t – 2 ( – 7 – 2 t ) – 5 = 0
⇔ 9 t + 9 = 0 ⇔ t = – 1
Vậy H là hình chiếu của A trên d và H ( 2 ; – 1 ; – 5 )
Chọn B.

Câu 2:

Cho M ( 0 ; 1 ; 3 ) và mặt phẳng ( P. ) : x + y – z + 2 = 0. Gọi H ( a ; b ; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P. ). Tính a + b + c ?
A. – 2
B. 6
C. – 4
D. 4
Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P. ) ; nhận vectơ pháp tuyến của ( P. ) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và ( P. )
Tọa độ của H ( t ; 1 + t ; 3 – t ) thỏa mãn nhu cầu : t + 1 + t – ( 3 – t ) + 2 = 0
⇔ 3 t = 0 nên t = 0
=> Tọa độ H ( 0 ; 1 ; 3 )
=> a + b + c = 0 + 1 + 3 = 4
Chọn D .

Câu 3:

Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng

Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1 ; 2 ; 1 )
B. ( 0 ; 2 ; 2 )
C. ( – 1 ; 2 ; 0 )
D. ( 0 ; 1 ; 0 )
Hiển thị lời giải
Xét điểm H ( – t ; 2 – 2 t ; 2 + t ) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

⇔ – 1 ( – t + 2 ) – 2 ( 1 – 2 t ) + 1 ( 4 + t ) = 0
⇔ t – 2 – 2 + 4 t + 4 + t = 0
⇔ 6 t = 0 nên t = 0
=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H ( 0 ; 2 ; 2 )
Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

A. ( 1 ; 0 ; – 2 )
B. ( – 2 ; 1 ; 0 )
C. ( – 1 ; 2 ; 1 )
D. ( – 2 ; – 1 ; 1 )
Hiển thị lời giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

=> Điểm M thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d là chính điểm M .
Chọn B .

Câu 5:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng ( P. ) : x + 2 z + 3 = 0 và điểm M ( – 2 ; 1 ; 2 ). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P. )
A. ( 1 ; 0 ; 2 )
B. ( – 1 ; 0 ; 2 )
C. ( – 2 ; 0 ; 2 )
D. ( – 3 ; 1 ; 0 )
Hiển thị lời giải

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H – hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( P. ) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. ) .
Thay x = – 2 + t ; y = 1 và z = 2 + 2 t vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta được :
– 2 + t + 2 ( 2 + 2 t ) + 3 = 0
⇔ 5 t + 5 = 0 ⇔ t = – 1 nên H ( – 3 ; 1 ; 0 )
Chọn D .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.

B. ( – 2 ; 1 ; 1 )

C.

D. ( 2 ; 2 ; 1 )
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Gọi ( P. ) là mặt phẳng qua M ( 1 ; 0 ; 2 ) và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng ( P. ) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng ( P. ) :
1 ( x – 1 ) – 1 ( y-0 ) + 1 ( z – 2 ) = 0 hay x – y + z – 3 = 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. )
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H ( t ; – t ; 2 + t ). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta được :
t – ( – t ) + 2 + t – 3 = 0 ⇔ 3 t – 1 = 0 ⇔ t = 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là

+ Do M ’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM ’ .

=> Tọa độ điểm M’

Chọn C.

Câu 7:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng ( P. ) : x – 2 y – 3 z – 11 = 0 và điểm A ( 2 ; 1 ; 1 ). Gọi A ’ là điểm đối xứng với A qua ( P. ). Tìm A ’ .
A. ( 4 ; – 3 ; – 5 )
B. ( – 2 ; 1 ; 3 )
C. ( 0 ; 2 ; – 1 )
D. ( – 2 ; 3 ; 1 )
Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
.

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A ( 2 ; 1 ; 1 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P. ). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1 ; – 2 ; – 3 )

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P. ). Khi đó ; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P. ) :
=> H ( 2 + t ; 1 – 2 t ; 1 – 3 t ) thay vào phương trình mặt phẳng ( P. ) ta có :
2 + t – 2 ( 1 – 2 t ) – 3 ( 1 – 3 t ) – 11 = 0
⇔ 2 + t – 2 + 4 t – 3 + 9 t – 11 = 0
⇔ 14 t – 14 = 0 ⇔ t = 1 nên H ( 3 ; – 1 ; – 2 )
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P. ) là H ( 3 ; – 1 ; – 2 ) .
+ Do A ’ là điểm đối xứng với A qua ( P. ) nên H là trung điểm của AA ’ .
=> Tọa độ A ’ ( 4 ; – 3 ; – 5 )
Chọn A .

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: https://thevesta.vn
Category: Chỉ Đường