Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – https://thevesta.vn
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d (M, ∆) = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng (D): 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d(M, D) = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến (D): 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1, −3) và có khoảng cách đến điểm M0(2, 4) bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −3) có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k(x − 1) ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0.
Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng (D) song song với (D0): 3x + 4y − 1 = 0 và cách (D0) một đoạn bằng 2. Đường thẳng (D) ∥ (D0) nên phương trình đường thẳng (D): 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M(−1; 1) ∈ (D0), theo đề ta có: d(D, D0) = d(M, D) = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A(−1, 2) và hai đường (∆): x − y − 1 = 0,(∆0): x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng (∆) một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (∆0) bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M(1, 1) một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 (2, 3) một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d(M, ∆) = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ (1) và (2) ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2(A + B + C), 2A + 3B + C = −2(A + B + C) ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và (1) ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.
Source: https://thevesta.vn
Category: Chỉ Đường
