Chứng minh công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

• Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng
• 2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
• Video liên quan

Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d ( M, ∆ ) = | Ax0 + By0 + C | √ A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M ( 1 ; 2 ) đến đường thẳng ( D ) : 4 x + 3 y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d ( M, D ) = | 4 · 1 + 3 · 2 − 2 | √ 42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆ : 2 x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến ( D ) : 4 x + 3 y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A ( 1, − 3 ) và có khoảng cách đến điểm M0 ( 2, 4 ) bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 1 ; − 3 ) có thông số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng : y + 3 = k ( x − 1 ) ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆ : 24 x − 7 y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng ( D ) song song với ( D0 ) : 3 x + 4 y − 1 = 0 và cách ( D0 ) một đoạn bằng 2. Đường thẳng ( D ) ∥ ( D0 ) nên phương trình đường thẳng ( D ) : 3 x + 4 y + c = 0. Lấy điểm M ( − 1 ; 1 ) ∈ ( D0 ), theo đề ta có : d ( D, D0 ) = d ( M, D ) = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c | 5 = 2 ⇔ | c + 1 | = 10 ⇔ c = 9, c = − 11. Với c = 9 ta có D : 3 x + 4 y + 9 = 0. Với c = − 11 ta có D : 3 x + 4 y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A ( − 1, 2 ) và hai đường ( ∆ ) : x − y − 1 = 0, ( ∆ 0 ) : x + 2 y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng ( ∆ ) một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến ( ∆ 0 ) bằng AM .Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M ( 1, 1 ) một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 ( 2, 3 ) một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆ : Ax + By + C = 0. Theo đề ta có : d ( M, ∆ ) = 2 ⇔ | A + B + C | √ A2 + B2 = 2 ⇔ | A + B + C | = 2 √ A2 + B2. Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có | 2A + 3B + C | = 2 | A + B + C | ⇔ 2A + 3B + C = 2 ( A + B + C ), 2A + 3B + C = − 2 ( A + B + C ) ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và ( 1 ) ta được | A + 2B | = 2 √ A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆ 1 : y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆ 2 : 4 x + 3 y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆ 0 = 4B2 − 1020B2 = − 1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆ 0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu nhu yếu. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm USD M ( x_M ; y_M ) USD và đường thẳng $ \ Delta $ có phương trình : USD ax + by + c = 0 USD. Khi đó khoảng cách từ điểm USD M ( x_M ; y_M ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $ được xác lập bởi công thức : USD d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { | ax_M + by_M + c | } { \ sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 } } $ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $ \ Delta $ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng USD \ Delta $. Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $ \ Delta $ thì tất cả chúng ta cần phải xác lập được 2 yếu tố :

• Tọa độ điểm M
• Phương trình của đường thẳng $\Delta$

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$

a. Tính khoảng cách từ điểm USD M ( 2 ; 1 ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $b. Tính khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; 4 ) USD đến đường thẳng USD a USD

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm USD M ( 2 ; 1 ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $ là : USD d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { | 2.2 + 3.1 – 1 | } { \ sqrt { 2 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $ => $ d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { 6 } { \ sqrt { 13 } } $ => $ d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { 6 \ sqrt { 13 } } { 13 } $ b. Khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; 4 ) USD đến đường thẳng $ a $ là : USD d ( M, a ) = \ dfrac { | 4.2 + 3.4 – 5 | } { \ sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $ => $ d ( M, a ) = \ dfrac { 15 } { \ sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $ => $ d ( M, a ) = \ dfrac { 15 } { 5 } = 3 USD

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(1;2)$; $B(2;3)$; $C(-1;2)$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Hướng dẫn:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC. Ta có : $ \ vec { BC } = ( – 3 ; – 1 ) USD Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là : $ \ vec { n } _ { BC } = ( 1 ; – 3 ) USD Đường thẳng BC đi qua điểm $ B ( 2 ; 3 ) USD có phương trình là : USD 1. ( x-2 ) – 3 ( y-3 ) = 0 $ < => $ x-3y+7 = 0 USD Khoảng cách từ điểm $ A ( 1 ; 2 ) USD đến đường thẳng BC là : USD d ( A, BC ) = \ dfrac { | 1-3. 2 + 7 | } { \ sqrt { 1 ^ 2 + ( – 3 ) ^ 2 } } $ => $ d ( A, BC ) = \ dfrac { 2 } { \ sqrt { 10 } } $ => $ d ( A, BC ) = \ dfrac { \ sqrt { 10 } } { 5 } $ Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng : $ \ dfrac { \ sqrt { 10 } } { 5 } $

Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.

Hướng dẫn:

Gọi USD M $ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm USD M $ là : USD M ( x_M ; – x_M + 3 ) USD Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là : USD d ( M, b ) = \ dfrac { | 3 x_M – 4 ( x_M + 3 ) + 5 | } { \ sqrt { 3 ^ 2 + ( – 4 ) ^ 2 } } $ => $ d ( M, b ) = \ dfrac { | – x_M-7 | } { 5 } $ => $ d ( M, b ) = \ dfrac { | x_M + 7 | } { 5 } $ Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có :

$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$

<=> $|x_M+7|=15$

<=> $x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$

<=> $x_M=8$ hoặc $x_M=-19$

Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $ M_1 ( 8 ; – 5 ) USD và $ M_2 ( – 22 ; – 19 ) USD

Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; – 3 ) USD tới đường thẳng a b. Tính khoảng cách từ điểm $ B ( – 4 ; 3 ) USD tới đường thẳng b

Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A(4;2) và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$

Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2

Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I(2, –3) và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ : Ax + By + C = 0 và điểm N ( x0 ; y0 ). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là :
Cho điểm M ( xM ; yN ) và điểm N ( xN ; yN ). Khoảng cách hai điểm này là :

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường

2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N ( xN ; yN ; zN ). Hãy xác lập khoảng cách từ N tới Δ ?
Phương pháp

Ví dụ 1: 

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát :
⇒ Phương trình ( d ) : 4 ( x – 1 ) – 3 ( y – 2 ) = 0 hay 4 x – 3 y + 2 = 0
+ Khoảng cách từ điểm M đến d là :

Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x – 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật.

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên .
⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A ( 2 ; 1 ) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích quy hoạnh hình chữ nhật bằng

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1). Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Ví dụ 4. 

Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .

Lời giải

Ví dụ 5. Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x – 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0.

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Tham khảo các bài học khác