Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

• 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
• 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
• Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Video liên quan

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Nếu biết phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 và tọa độ điểm A (x0; y0) thì khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d được xác định theo công thức

USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { a { x_0 } + b { y_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $

Ví dụ: Trong hệ trục tọa độ Oxy, bạn hãy tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, biết:

a ) M ( 3 ; 4 ) và x + y – 6 = 0
b ) M ( – 4 ; 2 ) và 2 x + y + 1 = 0
c ) M ( 2 ; 7 ) và 5 x – 6 x + 11 = 0
Lời giải
Khi đã biết tọa độ và phương trình đường thẳng, ta vận dụng công thức ở trên : USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { a { x_0 } + b { y_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $
a ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 1.3 + 1.4 – 6 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt 2 } } { 2 } $
b ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 2. \ left ( { – 4 } \ right ) + 1.2 + 1 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ sqrt 5 USD
c ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 5.2 + \ left ( { – 6 } \ right ). 7 + 11 } \ right | } } { { \ sqrt { { 5 ^ 2 } + { { \ left ( { – 6 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ approx 2,69 $

2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong khoảng trống tọa độ Oxyz, để tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng d cho trước ta làm như sau :

Bước 1: Lấy một điểm N

Bước 2: Lập vecto $\overrightarrow {MN} $

Bước 3: Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng $\overrightarrow {u} $

Bước 4: Áp dụng công thức tính khoảng cách $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = – 2t\\ y = 2 – t\\ z = 0,5t \end{array} \right.$ với t ∈ R.

Hãy tính khoảng cách từ điểm N ( 0 ; 0 ; 0 ) tới đường thẳng Δ
Lời giải
Ta thấy điểm N ( 0 ; 2 ; 0 ) là điểm thược đường thẳng Δ
Khi đó $ \ overrightarrow { MN } $ = ( 0 ; 2 ; 0 )
Từ phương trình tham số của Δ, ta suy ra vecto chỉ phương của nó là $ \ overrightarrow { u } $ = ( – 2 ; – 1 ; 0,5 )
Ta có : $ { \ left [ { \ vec u, \ overrightarrow { AM } } \ right ] } $ = ( 1 ; 0 ; – 4 )
Dựa vào công thức tính khoảng cách ta có USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { \ overrightarrow u, \ overrightarrow { AM } } \ right | } } { { \ left | { \ overrightarrow u } \ right | } } $ = $ \ frac { { \ left | { { 1 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } + { 4 ^ 2 } } \ right | } } { { \ sqrt { { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 0,5 } \ right ) } ^ 2 } } } } $ = 7,419
Mong rằng những san sẻ cụ thể ở trên đã phần nào giúp bạn biết cách tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm USD M ( x_M ; y_M ) USD và đường thẳng $ \ Delta $ có phương trình : USD ax + by + c = 0 USD. Khi đó khoảng cách từ điểm USD M ( x_M ; y_M ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $ được xác định bởi công thức : USD d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { | ax_M + by_M + c | } { \ sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 } } $ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $ \ Delta $ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng USD \ Delta $. Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $ \ Delta $ thì tất cả chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố :

• Tọa độ điểm M
• Phương trình của đường thẳng $\Delta$

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$

a. Tính khoảng cách từ điểm USD M ( 2 ; 1 ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $b. Tính khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; 4 ) USD đến đường thẳng USD a USD

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm USD M ( 2 ; 1 ) USD đến đường thẳng $ \ Delta $ là : USD d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { | 2.2 + 3.1 – 1 | } { \ sqrt { 2 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $ => $ d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { 6 } { \ sqrt { 13 } } $ => $ d ( M, \ Delta ) = \ dfrac { 6 \ sqrt { 13 } } { 13 } $ b. Khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; 4 ) USD đến đường thẳng $ a $ là : USD d ( M, a ) = \ dfrac { | 4.2 + 3.4 – 5 | } { \ sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $ => $ d ( M, a ) = \ dfrac { 15 } { \ sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } } $

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{5}=3$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(1;2)$; $B(2;3)$; $C(-1;2)$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Hướng dẫn:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC. Ta có : $ \ vec { BC } = ( – 3 ; – 1 ) USD Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là : $ \ vec { n } _ { BC } = ( 1 ; – 3 ) USD Đường thẳng BC đi qua điểm $ B ( 2 ; 3 ) USD có phương trình là : USD 1. ( x-2 ) – 3 ( y-3 ) = 0 $ < => $ x-3y+7 = 0 USD Khoảng cách từ điểm $ A ( 1 ; 2 ) USD đến đường thẳng BC là : USD d ( A, BC ) = \ dfrac { | 1-3. 2 + 7 | } { \ sqrt { 1 ^ 2 + ( – 3 ) ^ 2 } } $ => $ d ( A, BC ) = \ dfrac { 2 } { \ sqrt { 10 } } $ => $ d ( A, BC ) = \ dfrac { \ sqrt { 10 } } { 5 } $ Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng : $ \ dfrac { \ sqrt { 10 } } { 5 } $

Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.

Hướng dẫn:

Gọi USD M $ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm USD M $ là : USD M ( x_M ; – x_M + 3 ) USD Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là : USD d ( M, b ) = \ dfrac { | 3 x_M – 4 ( x_M + 3 ) + 5 | } { \ sqrt { 3 ^ 2 + ( – 4 ) ^ 2 } } $ => $ d ( M, b ) = \ dfrac { | – x_M-7 | } { 5 } $ => $ d ( M, b ) = \ dfrac { | x_M + 7 | } { 5 } $ Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có : USD \ dfrac { | x_M + 7 | } { 5 } = 3 USD

<=> $|x_M+7|=15$

<=> $x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$

<=> $x_M=8$ hoặc $x_M=-19$

Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $ M_1 ( 8 ; – 5 ) USD và $ M_2 ( – 22 ; – 19 ) USD

Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; – 3 ) USD tới đường thẳng a b. Tính khoảng cách từ điểm $ B ( – 4 ; 3 ) USD tới đường thẳng b

Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A(4;2) và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$

Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2

Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I(2, –3) và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ VnHocTap. com ra mắt đến các em học viên lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm mục đích giúp các em học tốt chương trình Toán 10 .

Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d ( M, ∆ ) = | Ax0 + By0 + C | √ A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M ( 1 ; 2 ) đến đường thẳng ( D ) : 4 x + 3 y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d ( M, D ) = | 4 · 1 + 3 · 2 − 2 | √ 42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆ : 2 x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến ( D ) : 4 x + 3 y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A ( 1, − 3 ) và có khoảng cách đến điểm M0 ( 2, 4 ) bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 1 ; − 3 ) có thông số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng : y + 3 = k ( x − 1 ) ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆ : 24 x − 7 y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng ( D ) song song với ( D0 ) : 3 x + 4 y − 1 = 0 và cách ( D0 ) một đoạn bằng 2. Đường thẳng ( D ) ∥ ( D0 ) nên phương trình đường thẳng ( D ) : 3 x + 4 y + c = 0. Lấy điểm M ( − 1 ; 1 ) ∈ ( D0 ), theo đề ta có : d ( D, D0 ) = d ( M, D ) = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c | 5 = 2 ⇔ | c + 1 | = 10 ⇔ c = 9, c = − 11. Với c = 9 ta có D : 3 x + 4 y + 9 = 0. Với c = − 11 ta có D : 3 x + 4 y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A ( − 1, 2 ) và hai đường ( ∆ ) : x − y − 1 = 0, ( ∆ 0 ) : x + 2 y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng ( ∆ ) một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến ( ∆ 0 ) bằng AM .Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M ( 1, 1 ) một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 ( 2, 3 ) một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆ : Ax + By + C = 0. Theo đề ta có : d ( M, ∆ ) = 2 ⇔ | A + B + C | √ A2 + B2 = 2 ⇔ | A + B + C | = 2 √ A2 + B2. Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có | 2A + 3B + C | = 2 | A + B + C | ⇔ 2A + 3B + C = 2 ( A + B + C ), 2A + 3B + C = − 2 ( A + B + C ) ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và ( 1 ) ta được | A + 2B | = 2 √ A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆ 1 : y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆ 2 : 4 x + 3 y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆ 0 = 4B2 − 1020B2 = − 1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆ 0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu nhu yếu .