Định lý bốn màu – Wikipedia tiếng Việt

Định lý bốn màu (còn gọi là định lý bản đồ bốn màu) phát biểu rằng đối với bất kỳ mặt phẳng nào được chia thành các vùng phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một quốc gia, chỉ cần dùng tối đa bốn màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau. Hai vùng được coi là lân cận nếu như chúng có chung nhau một đoạn đường biên, không tính chung nhau một điểm.

Định lý bốn màu là định lý lớn đầu tiên được chứng minh bằng máy vi tính. Tuy nhiên một số nhà toán học không đồng tình với cách chứng minh này, bởi vì con người không thể kiểm chứng trực tiếp được cách chứng minh. Do vậy, muốn tin vào chứng minh này thì người ta phải công nhận sự chính xác của Trình biên dịch và phần cứng máy tính được sử dụng để chạy chương trình chứng minh.

Vấn đề này lần đầu tiên được đề cập vào năm 1852 bởi Francis Guthrie khi ông thử tô màu bản đồ nước Anh và ông nhận ra rằng chỉ cần bốn màu khác nhau là đủ. Ông đã đem vấn đề này hỏi người anh trai là Fredrick, lúc đó đang là sinh viên của trường Đại học Học viện London (UCL). Fredrick đã đưa vấn đề này hỏi thầy của mình là nhà toán học Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ vấn đề này.

Người tiên phong ra mắt yếu tố ra trước công chúng là nhà toán học Arthur Cayley vào năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập yếu tố là De Morgan. Vào tháng 10/1852, giáo sư De Morgan ở trường Đại học Luân Đôn viết thư cho đồng nghiệp của mình là ông William Hamilton để bàn về bài toán : ” Mọi bản đồ đều hoàn toàn có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nước nằm kề nhau phải được tô bằng hai màu khác nhau “. [ 1 ]Người tiên phong chứng minh định lý này là Alfred Kempe vào năm 1879. Năm 1880, có thêm một cách chứng tỏ khác của Peter Guthrie Tait. Nhưng đến năm 1890 Percy Heawood đã chỉ ra sai lầm đáng tiếc trong cách chứng tỏ của Kempe, và đến năm 1891 Julius Petersen chỉ ra sai lầm đáng tiếc trong cách chứng tỏ của Tait .Trong việc chỉ ra sai lầm đáng tiếc của Kempe, Heawood còn chứng tỏ rằng tổng thể những Đồ thị phẳng phải sử dụng năm màu khác nhau, và làm cơ sở tăng trưởng cho giải thuật sau này. Xem Định lý năm màu .Trong những năm 1960 và 1970, nhà toán học người Đức là Heinrich Heesch đã tăng trưởng chiêu thức sử dụng máy vi tính cho việc chứng tỏ yếu tố .Năm 1976, sau cuối thì định lý cũng được chứng tỏ bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken tại trường Đại học Illinois với sự trợ giúp của máy vi tính ( trong khoảng chừng 1000 giờ máy ). Nhà khoa học John A. Koch cũng góp thêm phần nâng cấp cải tiến thuật toán để xử lý toàn vẹn bài toán 4 màu. [ 2 ]

Không vận dụng vào thực tiễn[sửa|sửa mã nguồn]

Mặc dù định lý được phát hiện ra trong quy trình tô màu bản đồ, nhưng trên thực tiễn nó rất ít khi được vận dụng vào khoa học vẽ bản đồ. Nhiều bản đồ phải sử dụng nhiều hơn bốn màu để biểu lộ những khu vực, ngoài những có những bản đồ sử dụng ít hơn bốn màu .Hầu hết những bản đồ thực tiễn đều có vẽ hồ ao, mà tổng thể hồ ao này phải vẽ cùng màu. Do vậy làm tăng số lượng màu thiết yếu để vẽ những vùng đất. Nếu bỏ lỡ không vẽ hồ ao, thì trên trong thực tiễn vẫn có những vùng đất của cùng một vương quốc nhưng bị tách rời nhau, do đó phải vẽ cùng màu và định lý không vận dụng được .Các sách vở về môn Bản đồ học cũng không nhắc đến định lý này. Những người vẽ bản đồ cho rằng họ chăm sóc hơn đến việc phối màu bản đồ sao cho thích mắt ; do vậy việc sử dụng bốn, năm hay nhiều màu hơn không phải là yếu tố đáng bận tâm .

Vị trí những phần chủ quyền lãnh thổ trên trong thực tiễn[sửa|sửa mã nguồn]

Những vùng không liên tục[sửa|sửa mã nguồn]

Trên trong thực tiễn có nhiều vương quốc mà những phần chủ quyền lãnh thổ không liền kề nhau. Ví dụ như phần chủ quyền lãnh thổ Alaska của nước Mỹ, Nakhchivan của Azerbaijan, hay Kaliningrad của Nga. Nếu việc vẽ bản đồ yên cầu những phần chủ quyền lãnh thổ này phải cùng màu thì việc sử dụng bốn màu là không đủ .Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền vương quốc .

Thử xét một hình vẽ đơn giản sau

Trong hình, hai khu vực được lưu lại ” A ” cùng thuộc về một vương quốc, và phải được vẽ cùng màu. Bản đồ này phải sử dụng năm màu, nên cần chú ý quan tâm 1 số ít điểm sau .
Các nước chung 1 điểm được xem là không kề nhau

Một số điểm cần chú ý quan tâm[sửa|sửa mã nguồn]

Để tránh một số hiểu lầm về bài toán 4 màu, chúng ta cần phải lưu ý một số trường hợp đặc biệt mà có thể ngộ nhận là giả thiết 4 màu không đúng:

• Hai nước có chung 1 điểm được xem là không kề nhau: kề nhau phải có chung đường biên giới. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Các nước chung 1 điểm được xem là không kề nhau là phản ví dụ: phải dùng đến 5 màu (do 2 nước đôi một đều có chung 1 điểm).

  Một nước phải là một vùng liên thông

  Xem thêm: Cách Thức Tạo Bản Đồ Sao – Cộng Đồng Chiêm Tinh Việt Nam

• Một nước phải là một vùng liên thông. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Một nước phải là một vùng liên thông là một ví dụ: bốn nước A, B, C, D đôi một kề nhau; nước E (có hai vùng đất 1 và 2) kề cả bốn nước A, B, C, D nên phải dùng đến 5 màu. Bản đồ buộc phải dùng 4 màu
• Con số 4 màu nói chung không thể hạ thấp xuống hơn: bản đồ có dạng như hình Bản đồ buộc phải dùng 4 màu buộc phải dùng đúng 4 màu.
• Bản đồ phải được vẽ trên mặt phẳng hay mặt cầu: ta có thể tìm ví dụ về bản đồ vẽ trên phao bơi cần phải dùng trên 5 màu mới có thể tô được.

Giả thuyết 4 màu và số màu đồ thị phẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Giả thuyết minh họa đồ thị

Để giải bài toán 4 màu, các nhà toán học đã tìm cách xây dựng các đồ thị tương ứng với các bản đồ và đưa giả thuyết 4 màu về giả thuyết số màu của đồ thị phẳng.

Với mỗi bản đồ, ta hoàn toàn có thể định nghĩa một đồ thị :

• Tập đỉnh: gồm các đỉnh mà mỗi đỉnh tương ứng với một nước trên bản đồ;
• Tập cạnh: mỗi cạnh tương ứng với 2 nước kề nhau có chung một biên giới.

Ví dụ: Hình minh họa đồ thị (G) tương ứng với bản đồ Giả thuyết minh họa đồ thị (G) bên cạnh.

Mỗi vùng được ký hiệu bằng một vần âm, những chữ này cũng được dùng để ký hiệu những đỉnh của đồ thị .

Từ ví dụ này ta thấy yêu cầu hai nước kề nhau phải có màu khác nhau khi tô bản đồ cũng tương ứng với yêu cầu hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau khi thực hiện phép tô màu đỉnh cho đồ thị.

Các nhà toán học đã chứng minh được định lý sau đây:

Định lý: Đồ thị (G) được định nghĩa tương ứng với mỗi bản đồ M (theo như định nghĩa trên) luôn là đồ thị phẳng. Cách tô màu mỗi vùng của bản đồ M tương ướng với cách tô màu các đỉnh của đồ thị (G)

Nhờ định lý trên, giả thuyết 4 màu được quy về giả thuyết về số màu của đồ thị phẳng được phát biểu như sau :

Giả thuyết:

Mọi đồ thị phẳng (G) đều có số màu γ(G)≤4

Sau công trình của Kenneth Appel, Wolfgang Haken và John A. Koch thì giả thuyết trên đã trở thành định lý và ngày nay chúng ta cũng gọi là định lý 4 màu.

Cho đến bây giờ cũng chưa tìm được cách chứng mình định lý 4 màu mà không dùng kiểm chứng bằng máy tính. Một số công trình khác cũng tìm cách cải tiến thuật toán kiểm tra để chạy nhanh hơn.

1. ^

   Trần Đan Thư – Dương Anh Đức (2008). Lý Thuyết Đồ Thị. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

2. ^ Wilson, Robin (2002). Four Colors Suffice. London: Penguin Books. ISBN 0-691-11533-8.

Source: https://thevesta.vn
Category: Bản Đồ