Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt cầu đến mặt phẳng

I.Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz

– Trong khoảng trống Oxyz, để tính khoảng cáchtừ điểm M ( xM, yM, zM ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức :

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz

* Bài 1(Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12):Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a ) 2 x y + 2 z 9 = 0 ( α )b ) 12 x 5 z + 5 = 0 ( β )c ) x = 0 ( γ ; )

* Lời giải:

a ) Ta có : Khoảng cách từ điểm A tới mp ( α ) là :b ) Ta có : Khoảng cách từ điểm A tới mp ( β ) là :c ) Ta có : khoảng cách từ điểm A tới mp ( γ ) là :

* Bài 2:Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z – 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

– Ta có :– Tương tự :

* Bài 3:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

( P ) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0 .( Q. ) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0 .

* Lời giải:

– Ta lấy điểm M ( 0 ; 0 ; – 1 ) thuộc mặt phẳng ( P ), kí hiệu d [ ( P ), ( Q. ) ] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. ), ta có :d [ ( P ), ( Q. ) ] = 3 .

* Bài 4:Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.

* Lời giải:

– Xét điểm M ( 0 ; 0 ; z ) Oz, ta có :- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng ( P ) là :Vậy điểm M ( 0 ; 0 ; 3 ) là điểm cần tìm .

* Bài 5:Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D’ = 0 với D  D’.

a ) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) .b ) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) .* Áp dụng cho trường hợp đơn cử với ( P1 ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0 và ( P2 ) : 2 x + 4 y + 4 z + 1 = 0 .

* Lời giải:

a ) Ta thấy rằng ( P1 ) và ( P2 ) song song với nhau, lấy điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( P1 ), ta có :Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = – D ( 1 )- Khi đó, khoảng cách giữa ( P1 ) và ( P2 ) là khoảng cách từ Mtới ( P2 ) :( theo ( 1 ) )b ) Mặt phẳng ( P ) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng ( P ) : Ax + By + Cz + E = 0. ( 2 )- Để ( P ) cách đều hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) thì khoảng cách từ M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ( P1 ) đến ( P ) bằng khoảng cách từ M2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ( P2 ) đến ( P ) nên ta có :( 3 )mà ( Ax1 + By1 + Cz1 ) = – D ; ( Ax2 + By2 + Cz2 ) = – D ‘ nên ta có 🙁 3 )vì ED, nên :Thế E vào ( 2 ) ta được phương trình mp ( P ) : Ax + By + Cz + ½ ( D + D ‘ ) = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với(P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a ) Tính khoảng cách giữa ( P1 ) và ( P2 ) :- mp ( P2 ) được viết lại : x + 2 y + 2 z + ½ = 0b ) Ta hoàn toàn có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau :

– Cách 1:áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

– Cách 2:(Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z)  (P) khi:

– Cách 3:(Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

( P ) : x + 2 y + 2 z + D = 0 .+ Lấy các điểm( P1 ) và( P2 ), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là+ Mặt phẳng ( P ) cách đều ( P1 ) và ( P2 ) thì ( P ) phải đi qua M nên ta có :

* Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng(α).

* Lời giải:

– Phương trình mặt cầu tâm I ( xi ; yi ; zi ) nửa đường kính R có dạng 🙁 x – xi ) 2 + ( y – yi ) 2 + ( z – zi ) 2 = R2- Nên theo bài raI ( 1 ; 4 ; – 6 ) pt mặt cầu ( S ) có dạng :

(x – 1)2+ (y – 4)2+ (z + 6)2= R2

– Vì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phằng phải bằng R, nên có :Phương trình mặt cầu tâm I ( 1 ; 4 ; – 6 ) nửa đường kính R = 5 là 🙁 x – 1 ) 2 + ( y – 4 ) 2 + ( z + 6 ) 2 = 25

Video liên quan