CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

CHUYÊN ĐỀ:  TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

Người thực hiện: Trịnh Thị NGa

Thành phần :Tổ KHTN

Ngày báo cáo: 10/10/2018

A.Lý thuyết

I.Chia đa thức.

1.Khái niệm.

+) A B A=B.Q

+ ) Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, sống sót duy nhất 2 đa thức Q. và R sao cho : A = B.Q + R ( R = 0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B )

• R = 0 ta có pép chia hết .
• R 0 ta có phép chia có dư

2. Tính chất.

a) A(x)  C(x); B(x)   C(x) A(x)   B(x)   C(x)

b) A(x)  B(x)   A(x).M(x)   B(x) 

c) A(x)  M(x); B(x)   N(x) A(x) . B(x)   M(x). N(x)

II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.

1. Đa thức chia có dạng x-a ( a là hằng số )

*Phương pháp:

+ Sử dụng định lí Bơdu + Sử dụng sơ đồ Hoocne

1.1. Định lí Bơdu

a)Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a  đúng bằng f(a)

Ví dụ:  Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1

Giải : Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f ( x ) cho x + 1 đúng băng f ( – 1 ) Có f ( – 1 ) = ( – 1 ) 243 + ( – 1 ) 27 + ( – 1 ) 9 + ( – 1 ) 3 + 1 = – 3 Vậy số dư của phép chia đa thức f ( x ) cho x + 1 bằng – 3.

b) Hệ quả.

+)   f(x) (x-a) f(a)=0.

+)  Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x)   (x-1)

+)  Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x)   (x+1).

1. . Sơ đồ Hooc-ne .

1. Sơ đồ

Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức x3-5×2+8x-4 cho x-2 mà không cần triển khai phép chia. GV triển khai mẫu :

Ví dụ 2 : ( x3-7x+6 ) : ( x + 3 ) HS thực thi VD2. GV tổng quát : Với đa thức f ( x ) = a0xn + a1xn-1+a2xn-2 + … .. + an-1x+an. Ta có sơ đồ Hoocne :

 b,Chứng minh sơ đồ  (Nâng cao phát triển )                                                                                                          c,Áp dụng sơ đồ  Hooc –ne để tính giá trị của đa thức  f(x) tại x=a (Đọc SGK/68)
2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên
*Phương pháp

Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm )
   Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1

C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1
                                  =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1
Có x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1

f(x): x2 -1 dư 3x+1
C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x                                  (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên
Với x=1 có f(x)=a+b=4
       x=-1 có f(-1)=-a+b=-2
a=3;a=1
Vậy dư là 3x+1
*Chú ý :
+)  an-bna-b                      ( ab)
   an+bna+b             (n lẻ ;a-b)
+)  xn-1x-1
   x2n-1x2-1   x-1;  x-1
   x4n-1x4-1   x2-1; x2 +1
   x3n-1x3-1     x2+x+1
III  Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức
*Phương pháp : có 4 cách
C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q)
C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)
C3:Sử dụng các biến đổi tương đương

  f(x) g(x) óf(x)g(x) g(x)
C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
B.Các dạng bài tập

Dạng 1:Tìm dư của phép chia (không làm tính chia)
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết.

Bài 1:Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1

Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS:  x41=x41-x+x=x(x40-1)+x
                     =x[(x4)10-1]+x
                     =x[(x2-1)(x2+1)]10+x
 x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x

Bài 2.Tìm dư  của phép chia f(x) =x50+x49+……….+x2+x+1 cho x2-1.
 Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp

HS:  Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm

Bài 3.Đa thức  f(x) khi chia cho x+1 dư 4, chia cho x2+1  dư 2x+3
Tìm phần dư khi chia  f(x) cho (x+1)(x2+1)

HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4                              (1)
              f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3                      (2)
              f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c     (3)

      =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a
      =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a)     (4)
Từ (2) và (4) b=2;c-a=3
b=2;c=  ;a=
Vậy đa thức dư là x2+2x+

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Xét giá trị riêng.

Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2  chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8.

HD : Vì f ( x ) = x3 + ax2 + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5 ; chia cho x + 2 thì dư 8 nên ta có : f ( x ) = ( x + 1 ). Q ( x ) + 5 f ( x ) = ( x + 2 ). H ( x ) + 8 Với x = – 1 ta có f ( – 1 ) = – 1 + a-b+2 = 5 ( 1 ) Với x = – 2 ta có f ( – 2 ) = – 8 + 4 a – 2 b + 2 = 8 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có : a = 3 ; b = – 1.

Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho (x-3)(x-2) được thương là 3x và còn dư.

HD : Theo bài ta có : f ( x ) = ( x-3 ). A ( x ) + 7 f ( x ) = ( x-2 ). B ( x ) + 5 f ( x ) = 3 x ( x-3 ) ( x-2 ) + ax + b. những đẳng thức tren đúng với mọi x nên : + Với x = 2 có f ( 2 ) = 5 => 2 a + b = 5 + Với x = 3 có f ( 3 ) = 7 => 3 a + b = 7

• ða = 2 ; b = 1 .

Do đó dư là 2 x + 1 F ( x ) = 3 x ( x-2 ) ( x-3 ) + 2 x + 1 + 3×3 – 15×2 + 20 x + 1

Dạng 3: Chứng minh chia hết

Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.

Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1

HD : Đặt x10 = t => cần chứng tỏ t5 + t + 1 chia hết cho t2 + t + 1

Có  t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1

Chứng tỏ x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1.

Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1)

HD : x2-x9-x1945 = ( x2-x+1 ) + ( – x9-1 ) + ( – x1945 + x )

Có x2-x+1  x2-x+1

x9+1x3+1 nên  x9+1 x2-x+1

x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x  x2-x+1

Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau:

1. x43 : ( x2 + 1 )
2. ( x27 + x9 + x3 + x ) : ( x-1 )
3. ( x27 + x9 + x3 + x ) : ( x2-1 )
4. ( x99 + x55 + x11 + x + 7 ) : ( x + 1 )
5. ( x99 + x55 + x11 + x + 7 ) : ( x2 + 1 )

Bài 2: Chứng minh rằng:

1. x10-10x+9 chia hết cho ( x-1 ) 2
2. x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 ( với n là số tự nhiên )
3. x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 ( với m, n là số tự nhiên )

Bài 3: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1)

Bài 4 :  T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x – 3 th× dư­ 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư­ 9, cßn f(x) chia cho x2 +x – 12 th× ®ư­îc thư­¬ng lµ  x2 + 3 vµ cßn dư­.

Đánh giá, nhận xét chuyên đề:

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

Tác giả : Trịnh Thị Thoan

Source: https://thevesta.vn
Category: Bản Tin