Các bài toán về Khoảng cách trong không gian và cách giải hay, chi tiết

Các bài toán về Khoảng cách trong không gian và cách giải

Với loạt Các bài toán về Khoảng cách trong khoảng trống và cách giải sẽ giúp học viên nắm vững kim chỉ nan, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt hiệu quả cao trong các bài thi môn Toán 12 .
CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

I. LÝ THUYẾT

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng .
Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng ( P ) ( hoặc đến đường thẳng ∆ ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( P ) ( hoặc trên đường thẳng ∆ ) .
+ Kí hiệu khoảng cách từ M đến ( P ) là d ( M, ( P ) )

+ Kí hiệu khoảng cách từ M đến ∆ là d ( M, ∆ )

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song .
a ) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( α ) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a tới mặt phẳng ( α ) đơn cử d ( a, ( α ) ) = d ( A, ( α ) ) với A thuộc a .
Ta có : d ( a, ( α ) ) = d ( A, ( α ) ) = AH
với A thuộc a và H là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( α ) .

b ) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kể của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia, đơn cử d ( ( α ), ( β ) ) = d ( M, ( β ) ) với M thuộc mặt phẳng ( α ) .

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng MN cắt và vuông góc với cả a và b gọi là đường vuông góc chung của a và b .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó. Cụ thể : d ( a, b ) = MN .
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng .
Phương pháp giải :

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: 

Ví dụ 1 : Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y – 2 z + 5 = 0 và điểm M ( 0 ; 2 ; 4 ). Tính d ( M ; ( P ) ) .

Hướng dẫn giải :

Ta có .

Chọn A .
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song .
Phương pháp giải :
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( P ) và ( Q. ) ta thực thi các bước như sau :
+ ) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) .
+ ) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Q. ) ( vận dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) .
Hướng dẫn giải :
Ví dụ 2 : Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( P ) : 4 x – 3 y + z – 2 = 0 và ( Q. ) : 12 x – 9 y + 3 z + 1 = 0 là

Hướng dẫn giải :
Lấy điểm M ( 0 ; 0 ; 2 ) ∈ ( P ) .

Chọn D .
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp giải :

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương  được xác định bởi công thức:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz khoảng cách từ điểm M (2; 0; 1) đến đường thẳng  là

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng d đi qua A (1; 0; 2) có một vectơ chỉ phương là .

Ta có: .

Suy ra 

Khoảng cách từ điểm M (2; 0; 1) đến đường thẳnglà:

Chọn C .
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Phương pháp giải :
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d ’ ta triển khai như sau :
+ ) Lấy M thuộc đường thẳng d .
+ ) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d ’ ( bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ) .

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải :
Ta lấy M ( 1 ; 2 ; 3 ) thuộc đường thẳng d1 .

Ta có d2 đi qua A (3; 2; 5) và có một vectơ chỉ phương là .

Khi đó:

Vì d1, d2 song song nên ta có :

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Phương pháp giải :

d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương và d’ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương  là:

Ví dụ 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương làvà đi qua điểm M1 (7;-1;0) .

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương làvà đi qua điểm M2 (-2;2;3).

Ta có:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là

Chọn D .
6. Khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P )
Phương pháp giải :
Khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng d đến mặt phẳng ( P ), đơn cử :

Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳngvà mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0. Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng d đi qua M (1; 0; -3) và nhậnlàm véc tơ chỉ phương.

Mặt phẳng (P) nhậnlàm véc tơ pháp tuyến.

Ta có

Vậy

Chọn B .
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 : Trong khoảng trống Oxyz, khoảng cách từ điểm A ( 1 ; 2 ; 2 ) đến mặt phẳng ( α ) : x + 2 y – 2 z – 4 = 0 bằng :

Câu 2 : Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( P ) : 2 x – y – 2 z – 4 = 0 và ( Q. ) : 2 x – y – 2 z = 2 = 0 .

Câu 3: Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 4 = 0 và đường thẳng

Câu 4: Khoảng cách từ điểm E (1; 1; 3) đến đường thẳng bằng

Câu 5 : Trong khoảng trống Oxyz khoảng cách từ điểm M ( 3 ; – 4 ; 1 ) tới mặt phẳng ( Oyz ) bằng
A. 1 .
B. 14 .
C. 4 .
D. 3 .

Câu 6: Tính khoảng cách h từ điểm A (2; 1; 4) đến đường thẳng

Câu 7 : Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z + m = 0 và điểm A ( 1 ; 1 ; 1 ). Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) bằng 1 ?
A. – 2 .
B. – 8 .
C. – 2 hoặc – 8 .
D. 3 .

Câu 8: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (1; 3; 2) đến đường thẳng là

Câu 9: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là

Câu 10: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

ĐÁP ÁN

Xem thêm chiêu thức giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết cụ thể khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

Source: https://thevesta.vn
Category: Chỉ Đường