Cách tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Nếu biết phương trình đường thẳng d : ax + by + c = 0 và tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) thì khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d được xác lập theo công thứcUSD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { a { x_0 } + b { y_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $

Ví dụ: Trong hệ trục tọa độ Oxy, bạn hãy tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, biết:

a ) M ( 3 ; 4 ) và x + y 6 = 0b ) M ( 4 ; 2 ) và 2 x + y + 1 = 0c ) M ( 2 ; 7 ) và 5 x 6 x + 11 = 0Lời giảiKhi đã biết tọa độ và phương trình đường thẳng, ta vận dụng công thức ở trên : USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { a { x_0 } + b { y_0 } + c } \ right | } } { { \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } $a ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 1.3 + 1.4 6 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt 2 } } { 2 } $b ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 2. \ left ( { 4 } \ right ) + 1.2 + 1 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ sqrt 5 USDc ) USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { 5.2 + \ left ( { 6 } \ right ). 7 + 11 } \ right | } } { { \ sqrt { { 5 ^ 2 } + { { \ left ( { 6 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ approx 2,69 $

2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong không gian tọa độ Oxyz, để tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng d cho trước ta làm như sau:

Bước 1: Lấy một điểm N

Bước 2: Lập vecto $\overrightarrow {MN} $

Bước 3: Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng $\overrightarrow {u} $

Bước 4: Áp dụng công thức tính khoảng cách $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 2 t\\ z = 0,5t \end{array} \right.$ với t R.

Hãy tính khoảng cách từ điểm N ( 0 ; 0 ; 0 ) tới đường thẳng ΔLời giảiTa thấy điểm N ( 0 ; 2 ; 0 ) là điểm thược đường thẳng ΔKhi đó $ \ overrightarrow { MN } $ = ( 0 ; 2 ; 0 )

Từ phương trình tham số của Δ, ta suy ra vecto chỉ phương của nó là $\overrightarrow {u} $ = ( 2; 1; 0,5)

Ta có : $ { \ left [ { \ vec u, \ overrightarrow { AM } } \ right ] } $ = ( 1 ; 0 ; 4 )Dựa vào công thức tính khoảng cách ta có USD d \ left ( { M, d } \ right ) = \ frac { { \ left | { \ overrightarrow u, \ overrightarrow { AM } } \ right | } } { { \ left | { \ overrightarrow u } \ right | } } $ = $ \ frac { { \ left | { { 1 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } + { 4 ^ 2 } } \ right | } } { { \ sqrt { { { \ left ( { 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 0,5 } \ right ) } ^ 2 } } } } $ = 7,419Mong rằng những san sẻ cụ thể ở trên đã phần nào giúp bạn biết cách tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng .